2022-9-9

经过一周的学习，对于概率论最基础的第一章算是又学了一遍，我觉得这章的知识点还是挺重要的，应该是概率论的根基，所以就多花了点时间去理解。在了解了条件概率与独立性的内涵后，当我重新审视之前热烈讨论的三门问题时，就感觉清晰了一些，也大概明白了争议的焦点。

搜了一下，大概三门问题的描述如下：

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率。

我觉得之所以有争议，是这段描述是存在歧义的，主要是“主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊”，那么一种情况是主持人是知道门背后是羊，然后总能开一扇是羊的门；另一种情况是主持人也是随机开的两扇门，恰好出现了羊。这两个描述得到的结果就是截然不同的。先说结论：如果主持人是任意开了一扇嘉宾没选的门，出现的是羊，那么不该换。如果主持人事先知道答案，开出一个错误选项，那么就应该换。具体的思考过程如下：

抽象成数学的定义，我觉得整个事情其实在描述A、B、C这三个事件。
A ：{参赛者选择的门里是汽车}
B：{主持人打开的门里是汽车} （B’:{主持人打开的门里是羊}）
C ：{要换的门里是汽车}
可见，这三个门肯定是不同的门A、B、C互斥，B和B’为对立事件，且一定有且只有一扇门背后是汽车。也就是{A，B，C}应该是一个完备事件群, 即P(A)+P(B) +P(C) = 1。而题目问的则是P(A| B’)与P(C| B’)的大小关系。若P(A| B’)<P(C| B’),就应该换。且参赛者选择的门是3个中任意选的，故P(A) = 1/3。
根据条件概率的定义：
P(A|B’)=P(AB’)/P(B’)=P(B’|A)*P(A)/P(B’)=P(A)/P(B’)，同理
P(C|B’)=P(C)/P(B’)，最终即就是要比较P(A)和P(C)而已。
其中P(A)=1/3，应该是没有疑问的。且P(A)+P(B) +P(C) = 1，所以要求P(C)，核心在于P(B) ，即主持人打开的门里是车的无条件概率是多少。大体可以分为两种情况：
1.认为主持人是提前知道车是在哪个门里的，也就是B为不可能事件，即P(B)=0，得到P(C)=2/3
这样即知道1/3=P(A|B’)< P(C|B’)=2/3，故应该换门。（这种情况应该是原始题目的本意。）
2.认为主持人并不知道羊在哪个门里，他知识随机打开一扇门，这里面可能有车也可能有羊，故P(B)=1/3,进而P(C)=1/3，得到P(A|B’)=P(C|B’)=1/2，故不应该换

所以从我翻译的这个角度看来，三门问题是在讲独立性的问题，即主持人开出的门为羊这个事件与另外两个门开出车的事件是否是独立的。从直观的理解，我们会自然而然的认为其是不独立的，相当于认为获取了主持人额外的信息后，一定会对另两个门是车的概率有影响。而其实际情况和题目的假设条件关系密切。当主持人事先知道谜底的情况，也就导致了“主持人开出的门为羊”这个事件与“其他两个门是车”独立了，换句话说主持人提供的并非额外信息，而是个确定性的信息，对无条件概率是没有影响的。所以问题就简化成事先选的门是车的概率是1/3，换的那个门是车的概率是2/3，就应该选择换门。而当主持人是随机打开的门，且开出的是羊，这件事就和另两个事件不独立了，相当于获取了额外的信息，让另两个门是车的概率从1/3和1/3的初始概率同时提升为1/2和1/2。这种情况下就不该换了。

当然，假想我们是玩这个游戏的人，主持人也没说他事先知不知道门背后是羊。我们只能猜测主持人是否知道，所以假设有p的概率主持人是知道的，则有（1-p)的概率主持人不知道，这样，初选的门是羊的概率应该是 p*1/3+（1-p)*1/2也一定是小于等于1/2的，所以，在题目有歧义的情况下，鉴于换的话门后是车的概率是在1/2到2/3之间，所以即使不考虑2种情况下也是应该毫不犹豫的换门的。

当然这里是从另一个角度来理解的这个问题，也不知道对不对，请高手们指教哈~

2022-09-09 20:23修改 来自北京