2022-9-7

我们日常生活中时常会用到随机这个词，比如我们随机的从一副扑克牌中抽一张牌，随机的扔骰子，随机投注一张彩票。那我们“随机地”这个动作，到底指的是什么呢？我想这个问题挺重要的，如果没有大家公认的答案，那么每个人对随机的理解就会完全不一样，同一个描述所得到的结果也就可能大相径庭。

比如，查百度百科，对随机的解释是——”随机，概率论用语。日常生活中多用于形容某件事的结果出自于一系列可能性中。“我试图在概率论的课本里找到随机的数学定义，貌似也没有找到。而日常生活种的解释倒是很直观，某件事的结果出自于一系列可能性中。然后数学课本里有关于随机变量的定义，即定义在样本空间上的实值函数。

我想，这个某件事结果的一系列可能，就是随机变量定义中说的样本空间吧。也就是得有样本空间，才谈的上从中间发生一种。所以当我们在说随机的干一件事时，需要首先明确其样本空间是什么。然后如果要进一步计算事件发生的概率，就还要知道样本空间中各种可能性的分布。只有平均分布的情况下，各种可能性才是等概率的。

比如非常有名的贝特朗（Bertrand)悖论，在单位圆内随机的取一条弦，求其长超过该圆内接等边三角形边长根号3的概率是多少? 之所以是悖论，就是他给出了三种取弦的方法
1.在圆上任选2点。得出所求概率为1/3
2.在任意1条半径上任选一点，总能有一条与之垂直的弦。得出概率为1/2
3.在除圆心外，半径为1/2的同心圆里找1点，总能做出以这点为中点的弦。得出概率为1/4
这三种说法自然也都没有问题，问题出在随机上，题目并没有说清楚什么叫“随机的取一条弦”。
则即可以在圆弧上两点这个结果空间上随机的，也可以在半径上的任一点这个结果空间上随机，也可以在半径为1/2的圆内任取一点上随机。这三个计算结果都默认在各自的样本空间下是平均分布的，这点也没啥问题。但如果首先认为圆弧上2点的分布是平均随机分布的话，半径上的1点或是半径1/2的圆内一点这件事就不是平均分布的了。所以实际上问题在这里。

所以，下次如果再看到有人提类似于随机做一件事，然后概率是多少的题目，第一件事就是让他把随机定义清楚，这样才不会有歧义，光随机两个字，很多时候是没有意义的。

2022-09-07 16:01 来自北京